三百三十四節 真或假
「複合命題由一個或多個簡單命題合成，那麼其合成的方式，我們稱之為『聯結詞』。比如，『這張卡片不是奴隸』，『這張卡片是16歲以上的男人』，『這張卡片是原籍福建或海南的人』，這是三個複合命題。」
「第一個命題，是對『這張卡片是奴隸』這一簡單命題的一種否定，合成方式是『非』；第二個命題，由『這張卡片是16歲以上的人』和『這張卡片是男性』兩個簡單命題構成，合成方式是『與』，也就是兩個簡單命題同時為『真』時，複合命題為『真』；而第三個命題，由『這張卡片是原籍福建的人』和『這張卡片是原籍海南的人』兩個簡單命題構成，合成方式是『或』，也就是兩個簡單命題中的任意一個為『真』時，複合命題為『真』。」
「所以，我們有了聯結多個命題使之成為更大命題的三種手段，與，或，非。其實還有另外兩種，不過暫時與分類機的設計無關，這裡先略過。」
「我們用符號來表示命題和聯結詞，則任何一項查詢，都能表示為一個表達式。顯然，令表達式為『真』的卡片，就是我們要尋找的卡片。而分類機的作用，就是對所有卡片，判斷這個表達式是否為『真』。」
「因此，凡是我們的分類機能夠判斷『真/假』的表達式，就是我們能夠解決的問題，凡是我們的分類機無法判斷真假的表達式，就是我們不能解決的問題。」
「這就是我們對這一問題的初步抽象。」
馮諾在黑板上寫下了幾個奇怪的符號∨（或）、∧（與）、┐（非），看起來像是旋轉了90度的大於號和小於號，還有倒過來的拉丁字母l。
「好，現在可以寫一下
『原籍福建或海南的人』這一命題的表達式了，海南是100，福建是122，所以我們令
命題a：『地區碼第1位為1』，
命題b：『地區碼第2位為0』，
命題c：『地區碼第3位為0』，
命題d：『地區碼第2位為2』，
命題e：『地區碼第3位為2』，
則，複合命題的表達式為：『（a∧b∧c）∨（a∧d∧e）』。」
「我們的分類機是如何判斷真假的呢？是通過檢驗穿孔卡是否穿孔，也就是說，分類機的每個讀卡單元，能夠判斷複合命題中的一個簡單命題的真假。同時，通過一個控制繼電器，我們可以讓每個讀卡單元，判斷僅有1個『非』聯結詞的複合命題，也就是一個簡單命題的非命題的真假。」
「假如我們僅有1個讀卡單元，那麼僅此而已。但是現在我們有10個讀卡單元，所以事情要複雜一些。不過仍然是可以分析的。請大家注意，每個讀卡單元側面的卡袋，裝入的卡片的特點：
k號卡袋中的卡片，是1~k-1號命題的『非』命題的『與』、再『與』k號命題。
經過k號讀卡單元的剩餘卡片，是滿足1~k號所判斷的命題的『非』命題的『與』。
1~k號卡袋裡面的卡片，合起來是滿足1~k號所判斷的命題的『或』。
假設我們的讀卡單元所判斷的簡單命題（或簡單命題的非命題）為p1，p2，，p10。
則我們所能夠判斷的命題表達式為：
1號卡袋：p1
2號卡袋：┐p1∧p2
3號卡袋：┐p1∧┐p2∧p3
4號卡袋：┐p1∧┐p2∧┐p3∧p4
10號卡袋：┐p1∧┐p2∧∧┐p9∧p10
最終剩餘卡片：┐p1∧┐p2∧∧┐p10
最後由於這些卡片被彼此分開，所以我們最終可以自由選擇任意多個卡袋的卡片合在一起，也就是上述表達式之間的『或』；其中最重要的，是從1~k號的連續k個卡袋中的卡片合在一起，其結果為：p1∨∨pk，即以p1為開頭的連續『或』運算；
而經過k號讀卡單元後機器上剩餘的卡片，可表示為┐p1∧∧┐pk，即以┐p1為開頭的連續『與』運算。」
「所以，凡是能變換成上述形式表達式的命題，就是分類機能夠查找的，否則，就是分類機不能查找的。」
「我給加奈出的問題，找出三亞大區除奴隸以外的卡片，可以分解成如下的簡單命題或簡單命題的非命題：
命題a：『地區碼第1位不為1』，
命題b：『地區碼第2位不為0』，
命題c：『地區碼第3位不為0』，
命題d：『地區碼第4位不為1』，
命題e：『地區碼第5位為1』，
命題f：『地區碼第5位不為2』
命題g：『地區碼第6位不為9』
命題h：『地區碼第7位不為9』
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧e，這是10011，三亞榆林，它符合5號卡袋的表達式，所以這些卡片位於5號卡袋中，可以記為p5。
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧g，這是100120~100128，三亞田獨11~89公社，它符合7號卡袋的表達式，所以這些卡片位於7號卡袋中，可記為p7。
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧┐g∧h，這是1001290~1001298，三亞田獨90~98公社，它符合8號卡袋的表達式，所以這些卡片位於8號卡袋中，可記為p8。
後兩者合起來，即p7∨p8，是三亞田獨，但不包括奴隸。三者全部合起來，即p5∨p7∨p8，是我們所要的結果。因為這個表達式符合我們上面的形式，所以分類機可以解決。」
「而『（a∧b∧c）∨（a∧d∧e）』，無論我們怎樣變換，是不能變換成上述表達式的，因而是當前的分類機所不能解決的。」
「好，問題來了，怎樣變換表達式？」這時他看向了馮珊。
「這是0和1的布爾代數。」馮珊答道，她的眼睛裡透出著迷的神色。
馮諾點點頭，錢羽之和李加奈此前已經完全不知所云了，不過聽到布爾代數，他們有點反應過來了。
馮諾只教過他倆最簡單的布爾代數，以至於他們以為布爾代數就是0和1的布爾代數。
「然後呢？」馮諾繼續引導。
「布爾代數是有補分配格！交運算是『與』，並運算是『或』，求補是『非』，滿**換律、結合律、吸收律，『與』和『或』彼此滿足分配律！0-1布爾代數還滿足冪等律！」
這是布爾代數的理論部分，錢羽之和李加奈又糊塗了。
「很好。」馮諾表揚了一句。
「不過，」他又補充說，「格的基本運算律只是『與』和『或』兩種運算之間的，包括交換律、結合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯里，還要考慮『非』的性質，這裡我暫時只說兩點：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達式的形式是——」
馮諾在黑板上寫下：
┐┐a=a；
「其二，德……唉，就叫『與或轉換律』吧，兩個命題的合取的非，是兩個命題的非的析取；兩個命題的析取的非，是兩個命題的非的合取。其表達式的形式是——」
他又寫下：
┐（a∧b）=┐a∨┐b，
┐（a∨b）=┐a∧┐b。
「我舉兩個例子你們就明白了，『不是16歲以上的男人』，也就意味著是『16歲以下的人』或『女人』；『不是原籍海南或福建的人』，也就意味著『不是原籍海南的人』並且『不是原籍福建的人』。」
然後他繼續說道，「根據這些運算律，可以把邏輯命題的表達式變換成各種形式，不過，一般我們會變換成連續『與』的『或』，或者連續『或』的『與』，稱為析取範式和合取範式。」
「好，有了理論工具，我們就能夠發現，目前分類機在設計上存在局限性。如果分類機能夠處理一般的析取範式或者合取範式，就不存在從設計上無法解決的問題了。——比如『找出原籍福建或海南的人』。」
「這就要求我們的每個讀卡單元，不是僅能判斷一個簡單命題的真假，而是能夠判斷多個簡單命題構成的合取項或者析取項的真假。反映在分類機設計上，就是把讀卡單元目前僅包括1個工作繼電器和1個控制繼電器的簡單電路，改造成包含多個繼電器的開關電路。」
「羽之，你這段時間已經很熟悉電路了。你來組裝一個有兩個開關和一個燈泡的電路，要求『只有2個開關都閉合，燈泡才亮』。」
馮諾指了指一旁的工作檯。工作檯上有一大堆導線、繼電器、燈泡和開關，台下放著兩個笨重的鐘式電池，萬用表和其他幾種儀器則被丟在工作檯的角落裡。
錢羽之熟練地來到工作檯前忙活起來，他首先從電池的正負極引出了導線，然後把燈泡連入電路，燈泡亮了。接著，他把兩個開關用導線連起來，又和燈泡、電池連在了一起。
馮諾讓三名學生都去試一下，是不是只有2個開關都閉合時，燈泡才亮，如果有任意1個開關是斷開的，燈泡就熄滅。
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「第一個命題，是對『這張卡片是奴隸』這一簡單命題的一種否定，合成方式是『非』；第二個命題，由『這張卡片是16歲以上的人』和『這張卡片是男性』兩個簡單命題構成，合成方式是『與』，也就是兩個簡單命題同時為『真』時，複合命題為『真』；而第三個命題，由『這張卡片是原籍福建的人』和『這張卡片是原籍海南的人』兩個簡單命題構成，合成方式是『或』，也就是兩個簡單命題中的任意一個為『真』時，複合命題為『真』。」
「所以，我們有了聯結多個命題使之成為更大命題的三種手段，與，或，非。其實還有另外兩種，不過暫時與分類機的設計無關，這裡先略過。」
「我們用符號來表示命題和聯結詞，則任何一項查詢，都能表示為一個表達式。顯然，令表達式為『真』的卡片，就是我們要尋找的卡片。而分類機的作用，就是對所有卡片，判斷這個表達式是否為『真』。」
「因此，凡是我們的分類機能夠判斷『真/假』的表達式，就是我們能夠解決的問題，凡是我們的分類機無法判斷真假的表達式，就是我們不能解決的問題。」
「這就是我們對這一問題的初步抽象。」
馮諾在黑板上寫下了幾個奇怪的符號∨（或）、∧（與）、┐（非），看起來像是旋轉了90度的大於號和小於號，還有倒過來的拉丁字母l。
「好，現在可以寫一下
『原籍福建或海南的人』這一命題的表達式了，海南是100，福建是122，所以我們令
命題a：『地區碼第1位為1』，
命題b：『地區碼第2位為0』，
命題c：『地區碼第3位為0』，
命題d：『地區碼第2位為2』，
命題e：『地區碼第3位為2』，
則，複合命題的表達式為：『（a∧b∧c）∨（a∧d∧e）』。」
「我們的分類機是如何判斷真假的呢？是通過檢驗穿孔卡是否穿孔，也就是說，分類機的每個讀卡單元，能夠判斷複合命題中的一個簡單命題的真假。同時，通過一個控制繼電器，我們可以讓每個讀卡單元，判斷僅有1個『非』聯結詞的複合命題，也就是一個簡單命題的非命題的真假。」
「假如我們僅有1個讀卡單元，那麼僅此而已。但是現在我們有10個讀卡單元，所以事情要複雜一些。不過仍然是可以分析的。請大家注意，每個讀卡單元側面的卡袋，裝入的卡片的特點：
k號卡袋中的卡片，是1~k-1號命題的『非』命題的『與』、再『與』k號命題。
經過k號讀卡單元的剩餘卡片，是滿足1~k號所判斷的命題的『非』命題的『與』。
1~k號卡袋裡面的卡片，合起來是滿足1~k號所判斷的命題的『或』。
假設我們的讀卡單元所判斷的簡單命題（或簡單命題的非命題）為p1，p2，，p10。
則我們所能夠判斷的命題表達式為：
1號卡袋：p1
2號卡袋：┐p1∧p2
3號卡袋：┐p1∧┐p2∧p3
4號卡袋：┐p1∧┐p2∧┐p3∧p4
10號卡袋：┐p1∧┐p2∧∧┐p9∧p10
最終剩餘卡片：┐p1∧┐p2∧∧┐p10
最後由於這些卡片被彼此分開，所以我們最終可以自由選擇任意多個卡袋的卡片合在一起，也就是上述表達式之間的『或』；其中最重要的，是從1~k號的連續k個卡袋中的卡片合在一起，其結果為：p1∨∨pk，即以p1為開頭的連續『或』運算；
而經過k號讀卡單元後機器上剩餘的卡片，可表示為┐p1∧∧┐pk，即以┐p1為開頭的連續『與』運算。」
「所以，凡是能變換成上述形式表達式的命題，就是分類機能夠查找的，否則，就是分類機不能查找的。」
「我給加奈出的問題，找出三亞大區除奴隸以外的卡片，可以分解成如下的簡單命題或簡單命題的非命題：
命題a：『地區碼第1位不為1』，
命題b：『地區碼第2位不為0』，
命題c：『地區碼第3位不為0』，
命題d：『地區碼第4位不為1』，
命題e：『地區碼第5位為1』，
命題f：『地區碼第5位不為2』
命題g：『地區碼第6位不為9』
命題h：『地區碼第7位不為9』
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧e，這是10011，三亞榆林，它符合5號卡袋的表達式，所以這些卡片位於5號卡袋中，可以記為p5。
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧g，這是100120~100128，三亞田獨11~89公社，它符合7號卡袋的表達式，所以這些卡片位於7號卡袋中，可記為p7。
┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧┐g∧h，這是1001290~1001298，三亞田獨90~98公社，它符合8號卡袋的表達式，所以這些卡片位於8號卡袋中，可記為p8。
後兩者合起來，即p7∨p8，是三亞田獨，但不包括奴隸。三者全部合起來，即p5∨p7∨p8，是我們所要的結果。因為這個表達式符合我們上面的形式，所以分類機可以解決。」
「而『（a∧b∧c）∨（a∧d∧e）』，無論我們怎樣變換，是不能變換成上述表達式的，因而是當前的分類機所不能解決的。」
「好，問題來了，怎樣變換表達式？」這時他看向了馮珊。
「這是0和1的布爾代數。」馮珊答道，她的眼睛裡透出著迷的神色。
馮諾點點頭，錢羽之和李加奈此前已經完全不知所云了，不過聽到布爾代數，他們有點反應過來了。
馮諾只教過他倆最簡單的布爾代數，以至於他們以為布爾代數就是0和1的布爾代數。
「然後呢？」馮諾繼續引導。
「布爾代數是有補分配格！交運算是『與』，並運算是『或』，求補是『非』，滿**換律、結合律、吸收律，『與』和『或』彼此滿足分配律！0-1布爾代數還滿足冪等律！」
這是布爾代數的理論部分，錢羽之和李加奈又糊塗了。
「很好。」馮諾表揚了一句。
「不過，」他又補充說，「格的基本運算律只是『與』和『或』兩種運算之間的，包括交換律、結合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯里，還要考慮『非』的性質，這裡我暫時只說兩點：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達式的形式是——」
馮諾在黑板上寫下：
┐┐a=a；
「其二，德……唉，就叫『與或轉換律』吧，兩個命題的合取的非，是兩個命題的非的析取；兩個命題的析取的非，是兩個命題的非的合取。其表達式的形式是——」
他又寫下：
┐（a∧b）=┐a∨┐b，
┐（a∨b）=┐a∧┐b。
「我舉兩個例子你們就明白了，『不是16歲以上的男人』，也就意味著是『16歲以下的人』或『女人』；『不是原籍海南或福建的人』，也就意味著『不是原籍海南的人』並且『不是原籍福建的人』。」
然後他繼續說道，「根據這些運算律，可以把邏輯命題的表達式變換成各種形式，不過，一般我們會變換成連續『與』的『或』，或者連續『或』的『與』，稱為析取範式和合取範式。」
「好，有了理論工具，我們就能夠發現，目前分類機在設計上存在局限性。如果分類機能夠處理一般的析取範式或者合取範式，就不存在從設計上無法解決的問題了。——比如『找出原籍福建或海南的人』。」
「這就要求我們的每個讀卡單元，不是僅能判斷一個簡單命題的真假，而是能夠判斷多個簡單命題構成的合取項或者析取項的真假。反映在分類機設計上，就是把讀卡單元目前僅包括1個工作繼電器和1個控制繼電器的簡單電路，改造成包含多個繼電器的開關電路。」
「羽之，你這段時間已經很熟悉電路了。你來組裝一個有兩個開關和一個燈泡的電路，要求『只有2個開關都閉合，燈泡才亮』。」
馮諾指了指一旁的工作檯。工作檯上有一大堆導線、繼電器、燈泡和開關，台下放著兩個笨重的鐘式電池，萬用表和其他幾種儀器則被丟在工作檯的角落裡。
錢羽之熟練地來到工作檯前忙活起來，他首先從電池的正負極引出了導線，然後把燈泡連入電路，燈泡亮了。接著，他把兩個開關用導線連起來，又和燈泡、電池連在了一起。
馮諾讓三名學生都去試一下，是不是只有2個開關都閉合時，燈泡才亮，如果有任意1個開關是斷開的，燈泡就熄滅。
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