第二百一十章 勾股定理
勝吉十九年九月二十六，由於有了昨日的鋪墊，沈方乾脆在草廬中支起了黑板，給沈披、沈括及三個兄弟講起了數學和音樂。
若說「理生氣並寓於氣中」、「理在氣先」的最佳證據，非數學和音樂莫屬。
沈方在昌國技術學院培訓過大工基本的數學，其講稿被收集起來，供沈披、沈括及沈家子侄學習，對於用數字計數及基本的四則運算，沈德等人已頗為熟悉，沈方快速複習一遍後，開始引入代數和方程的概念。用抽象的符號來代替數字，使難度一下子上升了許多，沈披、沈括自己可以很快適應，但沈德、沈封、沈朗三個兄弟卻直撓頭。沈方只好把x、y這些符號換成一筐蘋果、一籃梨等，等三個兄弟熟悉了方程式後，再用x、y這些字母將具象化的蘋果和梨取代回來。
「a、b、c、d、x、y這些符號僅僅代表一個數而已，大家死記住就行了。」沈方輕吐一口氣，開始介紹一些最基本的最基本的幾何定理。歐式幾何從二十六個定義，五個幾何公理，五個一般公理開始，由這十條公理推導出整個龐大的歐幾里得體系。很顯然《幾何原本》並不適合沈德這樣的小孩子學習，其嚴密的邏輯適合數學家去學習研究，一般人只需要學會使用其中的定理即可。
「勾股定理大家知道嗎？」
「勾三、股四、弦五。」沈德大聲說道。
「這是勾股定理的特例，」沈方一邊點頭，一邊隨手在黑板上畫了一個直角三角形。「勾股定理是指直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方之和。」
「那麼，如何勾股定理如何證明呢？」
「通過青朱出入圖。」沈括當然知道證明方法，便在黑板上直角三角形的基礎之上，以長、短邊各畫了兩個正方形，並註明青方、朱方，然後再以斜邊畫了一個正方形與兩個小正方形相交。正方形相交部分，割出來六個大小不等的三角形，沈括將兩個小正方形被割出的部分補進大正方形空下的部分，剛好補滿。
沈括採取的方法是是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，通俗易懂，沈德等三人看了一會兒，終於看懂了，每個人都興奮起來。
「勾股定理的證明方法有幾百種，剛才爹爹用的是幾何證明法，我這裡也有一個幾何證明法，乃是一名姓畢的數學家所發明。」
「可是畢昇的族人？」沈披問道。
沈方一愣，倒是沒想到沈披會聯想到前日提過的畢昇，「大伯，這畢氏卻不是我華夏之人，乃是與孔聖人同一時期，極西之歐羅巴洲希臘國之人，全名叫畢達格拉斯，這畢氏認為世界皆可以用數字來描述，並把音樂當做數學的應用，用來展示數字的完美。當初，他發現並證明勾股定理後宰殺了一百頭公牛來感謝神靈賜予靈感。」
小孩子們「哇」地叫出聲來，不知道是讚嘆畢氏的大手筆，還是驚訝於畢氏的殘忍。
沈方在黑板上面了一個直角三角形，並順著兩條直角邊延長至兩條直角邊之和的長度，並以這個長度畫了一個正方形。然後再延著這個大正方形內側畫了三個與原來直角三角形相同的三角形，並構成了風車的形狀。
「大家看，四個三角形的斜邊正好構成一個正方形，這個面積就是斜邊的平方，」沈方將四個三角形兩兩對應，形成兩個長方形，並用這兩個長方形，在大正方形里圍成一大一小兩個正方形，「大家看，這兩個小正方形正好各是兩條直角邊平方。」
這個方法直觀明確，比剛才沈括介紹的青朱出入圖更容易理解，孩子們一下便看明白了，就連沈披、沈括也讚嘆道，「果然巧妙，值一百頭公牛。」
「上面兩個是幾何圖形證明法，我再給大家介紹兩個計算推理方法。」
沈方在剛才畢氏證明方法的圖之上，標清a、b、c，其中a、b是直角邊，c是斜邊。
「這個大正方形的面積等於（a+b）的平方，同時也等於四塊小三角形加中間小正方形的平方。三角形的面積公式剛才講了是a乘b除以2，那麼大家看這個方程式。」
沈方在黑板上寫下：
1\/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2
2ab+c^2=a^2+2ab+b^2
最後沈方將等式兩邊的2ab劃掉，說道，「把兩邊的2ab刪掉，正好得到兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。」
沈披和沈括看得很清楚，包括其中的計算過程也非常簡單，他們竟然看呆了，孩子們也發出驚嘆聲，「這麼簡單！？」
「發明這個證明方法的人後來成了一個國家的國王，他的名字叫加菲爾德，也是很遠地方的外國人。」
「還有一個方法嗎？！」沈括有些急切得問道。
「最後再講一個方法，也很巧妙，發明這個方法的是一個十二歲的外國少年，名字叫愛因斯坦。」沈方沒有提加菲爾德和愛因斯坦的年代，也沒有辦法提，只好讓孩子們認為同樣是古人。
沈方在黑板上面畫了一個大點的直角三角形，並將兩條直角邊標上a、b，將斜邊標上c。然後將每條邊對應的頂點，標上大寫的Abc，然後從c點，向Ab邊畫了一條垂線，與Ab邊相交，交點標明為d點。
「從直角的這個點，c點向斜邊畫一條垂線，這時形成兩個小三角形，三角形Acd和三角形bcd，這兩個三角形和三角形Abc是相似三角形。根據相似三角形的性質，不同相似三角形各邊的比例相同，可以得到以下公式。」
沈方在黑板上寫下：
Ab\/Ac=Ac\/Ad
Ab\/bc=bc\/bd
Ac^2=Ab*Ad
bc^2=Ab*bd
Ac^2+bc^2=Ab*Ad+Ab*bd=Ab*(Ad+bd)=Ab^2
「Ac和bc分別是兩條直角邊b和a，Ab是斜邊c，兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。「
雖然這個證明方法比加菲爾德證明方法稍難一點，但是只要認真看清楚線段之間的對應關係，還是很容易就理解了，這個證明方法只添加了一條垂線，便用純代數的方法證明了勾股定理，讓沈括、沈披兩人對愛因斯坦這個小孩子產生了興趣。
若說「理生氣並寓於氣中」、「理在氣先」的最佳證據，非數學和音樂莫屬。
沈方在昌國技術學院培訓過大工基本的數學，其講稿被收集起來，供沈披、沈括及沈家子侄學習，對於用數字計數及基本的四則運算，沈德等人已頗為熟悉，沈方快速複習一遍後，開始引入代數和方程的概念。用抽象的符號來代替數字，使難度一下子上升了許多，沈披、沈括自己可以很快適應，但沈德、沈封、沈朗三個兄弟卻直撓頭。沈方只好把x、y這些符號換成一筐蘋果、一籃梨等，等三個兄弟熟悉了方程式後，再用x、y這些字母將具象化的蘋果和梨取代回來。
「a、b、c、d、x、y這些符號僅僅代表一個數而已，大家死記住就行了。」沈方輕吐一口氣，開始介紹一些最基本的最基本的幾何定理。歐式幾何從二十六個定義，五個幾何公理，五個一般公理開始，由這十條公理推導出整個龐大的歐幾里得體系。很顯然《幾何原本》並不適合沈德這樣的小孩子學習，其嚴密的邏輯適合數學家去學習研究，一般人只需要學會使用其中的定理即可。
「勾股定理大家知道嗎？」
「勾三、股四、弦五。」沈德大聲說道。
「這是勾股定理的特例，」沈方一邊點頭，一邊隨手在黑板上畫了一個直角三角形。「勾股定理是指直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方之和。」
「那麼，如何勾股定理如何證明呢？」
「通過青朱出入圖。」沈括當然知道證明方法，便在黑板上直角三角形的基礎之上，以長、短邊各畫了兩個正方形，並註明青方、朱方，然後再以斜邊畫了一個正方形與兩個小正方形相交。正方形相交部分，割出來六個大小不等的三角形，沈括將兩個小正方形被割出的部分補進大正方形空下的部分，剛好補滿。
沈括採取的方法是是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，通俗易懂，沈德等三人看了一會兒，終於看懂了，每個人都興奮起來。
「勾股定理的證明方法有幾百種，剛才爹爹用的是幾何證明法，我這裡也有一個幾何證明法，乃是一名姓畢的數學家所發明。」
「可是畢昇的族人？」沈披問道。
沈方一愣，倒是沒想到沈披會聯想到前日提過的畢昇，「大伯，這畢氏卻不是我華夏之人，乃是與孔聖人同一時期，極西之歐羅巴洲希臘國之人，全名叫畢達格拉斯，這畢氏認為世界皆可以用數字來描述，並把音樂當做數學的應用，用來展示數字的完美。當初，他發現並證明勾股定理後宰殺了一百頭公牛來感謝神靈賜予靈感。」
小孩子們「哇」地叫出聲來，不知道是讚嘆畢氏的大手筆，還是驚訝於畢氏的殘忍。
沈方在黑板上面了一個直角三角形，並順著兩條直角邊延長至兩條直角邊之和的長度，並以這個長度畫了一個正方形。然後再延著這個大正方形內側畫了三個與原來直角三角形相同的三角形，並構成了風車的形狀。
「大家看，四個三角形的斜邊正好構成一個正方形，這個面積就是斜邊的平方，」沈方將四個三角形兩兩對應，形成兩個長方形，並用這兩個長方形，在大正方形里圍成一大一小兩個正方形，「大家看，這兩個小正方形正好各是兩條直角邊平方。」
這個方法直觀明確，比剛才沈括介紹的青朱出入圖更容易理解，孩子們一下便看明白了，就連沈披、沈括也讚嘆道，「果然巧妙，值一百頭公牛。」
「上面兩個是幾何圖形證明法，我再給大家介紹兩個計算推理方法。」
沈方在剛才畢氏證明方法的圖之上，標清a、b、c，其中a、b是直角邊，c是斜邊。
「這個大正方形的面積等於（a+b）的平方，同時也等於四塊小三角形加中間小正方形的平方。三角形的面積公式剛才講了是a乘b除以2，那麼大家看這個方程式。」
沈方在黑板上寫下：
1\/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2
2ab+c^2=a^2+2ab+b^2
最後沈方將等式兩邊的2ab劃掉，說道，「把兩邊的2ab刪掉，正好得到兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。」
沈披和沈括看得很清楚，包括其中的計算過程也非常簡單，他們竟然看呆了，孩子們也發出驚嘆聲，「這麼簡單！？」
「發明這個證明方法的人後來成了一個國家的國王，他的名字叫加菲爾德，也是很遠地方的外國人。」
「還有一個方法嗎？！」沈括有些急切得問道。
「最後再講一個方法，也很巧妙，發明這個方法的是一個十二歲的外國少年，名字叫愛因斯坦。」沈方沒有提加菲爾德和愛因斯坦的年代，也沒有辦法提，只好讓孩子們認為同樣是古人。
沈方在黑板上面畫了一個大點的直角三角形，並將兩條直角邊標上a、b，將斜邊標上c。然後將每條邊對應的頂點，標上大寫的Abc，然後從c點，向Ab邊畫了一條垂線，與Ab邊相交，交點標明為d點。
「從直角的這個點，c點向斜邊畫一條垂線，這時形成兩個小三角形，三角形Acd和三角形bcd，這兩個三角形和三角形Abc是相似三角形。根據相似三角形的性質，不同相似三角形各邊的比例相同，可以得到以下公式。」
沈方在黑板上寫下：
Ab\/Ac=Ac\/Ad
Ab\/bc=bc\/bd
Ac^2=Ab*Ad
bc^2=Ab*bd
Ac^2+bc^2=Ab*Ad+Ab*bd=Ab*(Ad+bd)=Ab^2
「Ac和bc分別是兩條直角邊b和a，Ab是斜邊c，兩邊長的平方之和等於斜邊的平方。「
雖然這個證明方法比加菲爾德證明方法稍難一點，但是只要認真看清楚線段之間的對應關係，還是很容易就理解了，這個證明方法只添加了一條垂線，便用純代數的方法證明了勾股定理，讓沈括、沈披兩人對愛因斯坦這個小孩子產生了興趣。