第四十六章 計算
應該說，微分和積分為什麼互為逆運算，而且為什麼通過反求導就能求出區域面積，這大概是在學習微積分的時候，很多人最難理解的一個點。
甚至曾經在很早之前，大家都把微分和積分看作是兩個互不關聯，毫不相關的東西去看待，直到後面出現了牛頓和萊布尼茨。
考慮到證明的過程是很難直觀去理解的，所以李縱才舉了這麼一個或許並不太嚴謹，但卻意外好懂的例子，把求積分的圖，當成是瞬間速度變化的圖。
然後求從a到b時間之內，到底走過了多少路程，這是不是就是反求導之後，用大寫的F代表原函數，黃色區域的面積就等於F(b)-F(a)。
這正是計算積分十分重要的一個公式，將連續的需要求和的一條條鉛垂線的過程，轉變成了只需要代入邊界的值，一減就能求出面積。
見兩人還在猶豫，李縱也是把路程等於速度乘以時間，面積等於底邊乘以高，兩者都是乘法的這麼一個過程寫了出來，道：「其實我們不必糾結於為什麼路程可以看成是面積。」
「我們只需要知道他們都同樣是乘法運算，而且，都是函數關於一滴滴的單位之內，會得到某個值就行了。」
「而且，如果反過來理解，求積分的這個圖，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的時間之內，面積的變化率。」
見兩人還在沉思，李縱便繼續道：「那麼，假設這種想法是對的，我們已經得知，這兩種運算存在著一種互逆的關係，那麼，我們可以怎麼使用這種關係？」
「是不是就可以求積分了，積分原本是要把很多很多的鉛垂線的面積加起來，正常來說，我們人是辦不到的，但是如果能把它轉換為微分時的原函數，積分是不是就可以計算了。」
「直接代入兩個邊界的點，一減，答案不就出來了。b點的里程，比如說15里，減去a點的里程，比如說10里，一減，中間的5里，就是我們走過的路程。」
「那麼問題來了！這個積分的函數，跟它微分時的原函數，到底存在著一種什麼樣的關係。」
「或者說，我現在已經知道了積分的函數了，就是等於y=2x，那麼，微分時的原函數，是什麼？所以是不是就是一次從微分的結果，反推微分的開頭的這麼一個過程。」
「那接下來我們便嘗試著拿一個例子，來求一次微分。」
「比如說原函數y=x²，根據剛剛微分的定義，是不是就可以有以下這個式子：」
圖。
「此式子怎麼理解，剛剛我們是用t-a的方式，但這樣顯然是算不出來的，所以我們把t換成x+Δx，代表t比a多了那麼一滴滴增量，但是這個增量又是無限小，我們定義無限小不等於0，但是它無限趨近於0。」
「接下來便可以對式子進行運算。」
圖。
「正如同前面我們說讓t就是等於a，那麼很短很短的時間，也就沒有爭議。這個的Δx，我們把他視為是沒有增量，那麼這條式子最後，微分出來，等於2x也就沒有爭議了。」
「當然，前提是，我們定義了無限小，是趨向於0。」
「這正好就是微分的結果跟原函數。」
「接下來，我們可以代入一些數字來測試一下。」
「首先明確，y=x²是路程關於時間的函數，y=2x是路程變化率，也就是速度關於時間的函數。」
「現在我要求y=2x在某一段時間內走過的路程，即這個函數在給定邊界範圍的面積。」
「就可以變成求出原函數，然後代入邊界，最後y=1²=1。」
「而反應在y=2x的這個與x、y邊界所圍成的面積，是不是也是，按照三角形的面積公式，底是1，高是2，1×2÷2=1，也等於1。」
「再代入別的數字，x=2，原函數答案是4，y=2x圍成的面積是，2×4÷2=4，也等於4。」
「下面的以此類推，答案完全一樣。」
「甚至就是算梯形的面積，其實也是一樣的。」
李縱用一個很巧合的例子，來說明在給定邊界後，的確可以通過原函數的式子來算出圖形的面積。並且計算出來的面積是完全吻合的，這恰恰印證了前面李縱的假設。
雖說這只是個例，但是，此法足以讓兩人耳目一新。
三角形的面積原來還能這麼算，這誰能想到！
然後李縱便道：「其實還有更為嚴格的證明過程，只是便於你們好理解，我也就拿這個作為例子。」
「假設這就是對的！」
「那麼，以前我們是不是寫了一條關於圓的方程的式子，是不是也有xy，而且當時我們還算出了邊界，如果我沒有記錯的話，是b點的坐標是四分之一。」
「要是我們也能知道那條圓的方程的式子的原函數，是不是就能夠通過直接代入四分之一，當然，起點是0，所以不用算，去算那個小區域S(ABD)的面積。」
兩人聽完，簡直覺得李縱就是鬼才！
這都能讓李縱想到！
但是……
接下來，等李縱把圓的方程式子寫下來後，這個要怎麼求原函數，卻是把所有人都難倒了。
「這個式子，要怎麼求原函數。」
「方才，我們是瞎貓碰上死耗子，正好通過微分，算出來是2x，那麼接下來什麼原函數的微分等於（x-x²），再開根號。」
張公綽兩人立刻都傻眼了。
甚至，看完了這條式子，前面什麼微分、積分好像都忘了，這就是所謂的，你看完，你覺得你自己懂了，其實，你什麼都不懂。（圖）
「這的確是一條相當複雜的式子，而且微分的過程雖說我們從頭到尾都是知道的，但是我們卻又不可能從後面往前推。」
「尤其還是這種又有減法，甚至還有開平方的式子。」
「這怎麼辦？」
「我們化簡一下。」
「這就是結果。」
「然後我們先不管前面的x的二分之一方，我們就看後面的這個，（1-x）的二分之一方，是不是就跟我們之前提到的，那個f(m)的公式長得很像。」
「那我們是不是就可以把這個式子，按照f(m)的式子來展開。」
「最後得到。」
「我們再對這個式子求原函數。」
甚至曾經在很早之前，大家都把微分和積分看作是兩個互不關聯，毫不相關的東西去看待，直到後面出現了牛頓和萊布尼茨。
考慮到證明的過程是很難直觀去理解的，所以李縱才舉了這麼一個或許並不太嚴謹，但卻意外好懂的例子，把求積分的圖，當成是瞬間速度變化的圖。
然後求從a到b時間之內，到底走過了多少路程，這是不是就是反求導之後，用大寫的F代表原函數，黃色區域的面積就等於F(b)-F(a)。
這正是計算積分十分重要的一個公式，將連續的需要求和的一條條鉛垂線的過程，轉變成了只需要代入邊界的值，一減就能求出面積。
見兩人還在猶豫，李縱也是把路程等於速度乘以時間，面積等於底邊乘以高，兩者都是乘法的這麼一個過程寫了出來，道：「其實我們不必糾結於為什麼路程可以看成是面積。」
「我們只需要知道他們都同樣是乘法運算，而且，都是函數關於一滴滴的單位之內，會得到某個值就行了。」
「而且，如果反過來理解，求積分的這個圖，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的時間之內，面積的變化率。」
見兩人還在沉思，李縱便繼續道：「那麼，假設這種想法是對的，我們已經得知，這兩種運算存在著一種互逆的關係，那麼，我們可以怎麼使用這種關係？」
「是不是就可以求積分了，積分原本是要把很多很多的鉛垂線的面積加起來，正常來說，我們人是辦不到的，但是如果能把它轉換為微分時的原函數，積分是不是就可以計算了。」
「直接代入兩個邊界的點，一減，答案不就出來了。b點的里程，比如說15里，減去a點的里程，比如說10里，一減，中間的5里，就是我們走過的路程。」
「那麼問題來了！這個積分的函數，跟它微分時的原函數，到底存在著一種什麼樣的關係。」
「或者說，我現在已經知道了積分的函數了，就是等於y=2x，那麼，微分時的原函數，是什麼？所以是不是就是一次從微分的結果，反推微分的開頭的這麼一個過程。」
「那接下來我們便嘗試著拿一個例子，來求一次微分。」
「比如說原函數y=x²，根據剛剛微分的定義，是不是就可以有以下這個式子：」
圖。
「此式子怎麼理解，剛剛我們是用t-a的方式，但這樣顯然是算不出來的，所以我們把t換成x+Δx，代表t比a多了那麼一滴滴增量，但是這個增量又是無限小，我們定義無限小不等於0，但是它無限趨近於0。」
「接下來便可以對式子進行運算。」
圖。
「正如同前面我們說讓t就是等於a，那麼很短很短的時間，也就沒有爭議。這個的Δx，我們把他視為是沒有增量，那麼這條式子最後，微分出來，等於2x也就沒有爭議了。」
「當然，前提是，我們定義了無限小，是趨向於0。」
「這正好就是微分的結果跟原函數。」
「接下來，我們可以代入一些數字來測試一下。」
「首先明確，y=x²是路程關於時間的函數，y=2x是路程變化率，也就是速度關於時間的函數。」
「現在我要求y=2x在某一段時間內走過的路程，即這個函數在給定邊界範圍的面積。」
「就可以變成求出原函數，然後代入邊界，最後y=1²=1。」
「而反應在y=2x的這個與x、y邊界所圍成的面積，是不是也是，按照三角形的面積公式，底是1，高是2，1×2÷2=1，也等於1。」
「再代入別的數字，x=2，原函數答案是4，y=2x圍成的面積是，2×4÷2=4，也等於4。」
「下面的以此類推，答案完全一樣。」
「甚至就是算梯形的面積，其實也是一樣的。」
李縱用一個很巧合的例子，來說明在給定邊界後，的確可以通過原函數的式子來算出圖形的面積。並且計算出來的面積是完全吻合的，這恰恰印證了前面李縱的假設。
雖說這只是個例，但是，此法足以讓兩人耳目一新。
三角形的面積原來還能這麼算，這誰能想到！
然後李縱便道：「其實還有更為嚴格的證明過程，只是便於你們好理解，我也就拿這個作為例子。」
「假設這就是對的！」
「那麼，以前我們是不是寫了一條關於圓的方程的式子，是不是也有xy，而且當時我們還算出了邊界，如果我沒有記錯的話，是b點的坐標是四分之一。」
「要是我們也能知道那條圓的方程的式子的原函數，是不是就能夠通過直接代入四分之一，當然，起點是0，所以不用算，去算那個小區域S(ABD)的面積。」
兩人聽完，簡直覺得李縱就是鬼才！
這都能讓李縱想到！
但是……
接下來，等李縱把圓的方程式子寫下來後，這個要怎麼求原函數，卻是把所有人都難倒了。
「這個式子，要怎麼求原函數。」
「方才，我們是瞎貓碰上死耗子，正好通過微分，算出來是2x，那麼接下來什麼原函數的微分等於（x-x²），再開根號。」
張公綽兩人立刻都傻眼了。
甚至，看完了這條式子，前面什麼微分、積分好像都忘了，這就是所謂的，你看完，你覺得你自己懂了，其實，你什麼都不懂。（圖）
「這的確是一條相當複雜的式子，而且微分的過程雖說我們從頭到尾都是知道的，但是我們卻又不可能從後面往前推。」
「尤其還是這種又有減法，甚至還有開平方的式子。」
「這怎麼辦？」
「我們化簡一下。」
「這就是結果。」
「然後我們先不管前面的x的二分之一方，我們就看後面的這個，（1-x）的二分之一方，是不是就跟我們之前提到的，那個f(m)的公式長得很像。」
「那我們是不是就可以把這個式子，按照f(m)的式子來展開。」
「最後得到。」
「我們再對這個式子求原函數。」