第三十一章，討論
李謙知道這個問題的意思。不完備定理幾乎是最具有哲學意義的數學定理之一了，從某種意義上來說，它幾乎就是對數學研究的整個意義的一個否定。甚至是對一切的研究和探索的意義的否定。因為它的成立，就等於是在說，數學永遠不可能拜託悖論。這也意味著數學的基礎，始終都是不牢靠的。換句話說，數學已經不可靠了。說不定哪一天，群星運行到合適的位置，然後愛潛水的觸手怪醒過來了，一加一就不等於二了呢？
而且這還不是數學一家的事情，因為數學幾乎是一切的自然科學研究的最基礎也最為有力的工具。數學要是都打出GG了，其他學科，有一門算一門，還有誰敢說自己沒問題？甚至不僅僅是自然科學，就是社會學科也都夠嗆，因為這個結論同樣適用於邏輯。而對有很多社會學科來說，邏輯也是非常重要的。當然，新聞除外。
「我知道這個定理後面似乎是有一些可怕的東西。」李謙說，「但是如果我們換個角度想想，事情也許就不一樣了。」
「說說看，」希爾伯特道。
李謙想了想，然後回答道：「希爾伯特先生，我有這樣的一個想法。我想，數學不應該只是一種存粹的語法。就像我不能接受數學陳述如「1+1=2」是無意義的，它們為真僅僅是因為語法而不是語義。您知道，有些人就是這樣看待數學的。但我認為，數學不僅僅是語法，他是有實際的意義的，不完備定律說明，存在著一些卻是為真，但是卻不依賴於我們人為的邏輯架構的東西。這至少說明，數學除了語法之外，並不是一無所有。這些我們用邏輯和語法無法確定的東西，正說明了數學是真實的，不依賴於人類而存在的。」
說到這裡，李謙停了下來，抬起頭，望著希爾伯特。
「啊，李，原來你是個柏拉圖主義者。難怪你們東方人都那樣注重直覺。」希爾伯特笑道，「不過，這似乎也意味著我們無法真正的認識世界，意味著我們永遠在永恆的錯誤之中。」
所謂的「柏拉圖主義」並不是說諸如精神戀愛什麼的。而是指柏拉圖對於世界本質的一種設想。柏拉圖認為，在人們通過感覺和經驗認識的世界之上，還有一個更加真實，更加本質的真實世界——理念世界。
而這種理念表現在數學上，那就是認為數學的對象就是數、量、函數等數學概念，而數學概念作為抽象一般或「共相」是客觀存在著的。柏拉圖認為它們存在於一個特殊的理念世界裡，後世的柏拉圖主義者隨人並不一定接受「理念論」，但也認為數學概念是一種特殊的獨立於現實世界之外的客觀存在，它們是不依賴於時間、空間和人的思維的永恆的存在。數學家得到新的概念不是創造，而是對這種客觀存在的描述；數學新成果不是發明，而是發現。與之相應的，柏拉圖主義認為數學理論的真理性就是客觀的由那種獨立於現實世界之外的存在決定的，而這種真理性是要靠「心智」經驗來理解，靠某種「數學直覺」來認識的，人們只有通過直覺才能達到獨立於現實世界之外的「數學世界」。
「我們的確在永恆的錯誤之中，就好像……：李謙本來想要說」就好像你不能同時知道一個粒子的速度和位置」的，但是在開口的時候，卻猛地想到，「海森堡不確定原理」現在還沒出現呢。
「嗯，能不能幹脆把這個也搶先抄過來？」李謙的思想開了小差，於是語言自然停了下來。不過希爾伯特什麼沒見過？這種說話說到一半，卻突然停下來，眼神呆滯，目光渙散，魂游天外不知道想什麼去了的人，希爾伯特見得多了。在他的門派里，這樣的人而不少。很多能打的傢伙都有這個毛病。
「啊，希爾伯特先生，不好意思，我腦子又突然有點短路了。」李謙還是將自己的思路拉了回來，因為他發現，抄襲物理並不太容易，以他對於物理學的熟悉程度，他需要補的課可不少。
「啊，沒事。這種情況，在我們這一行當中是很常見的。如果我們當中有人從來沒有這樣的時候，都不好意思出去和人家打招呼了。」希爾伯特笑道，「年輕人，能告訴我你剛才在想什麼嗎？」
「我在想，既然數學上存在不完備性，那它在我們熟悉的世界中就一定會有所反應。在物理學上肯定也有表現。我突然想到，在廣義相對論之後，有人提出應該將物理的所有規律統一起來。但我突然想到，依據不完備定律，他們的努力恐怕很難獲得他們期待的結果。」李謙立刻就想出了一個搪塞的理由，他在心裡忍不住為自己的機智點了個贊。
「啊，阿爾伯特·愛因斯坦似乎正在準備做這方面的努力呢。」希爾伯特笑了起來。
在廣義相對論上，希爾伯特和愛因斯坦曾有過一場勢均力敵的競賽，兩個人幾乎是同時做出了廣義相對論。很多吃瓜群眾們都以為，又會出現一場萊布尼茨與牛頓之爭了。而且兩個人也已經開始有一些相互諷刺的語言了。
不過後來，希爾伯特主動退讓了，承認了愛因斯坦的發現權。雖然他的話很傲嬌：「在我們的大街上的孩子，都比愛因斯坦更了解什麼是四維空間，但是廣義相對論卻居然是他發現的。」但是他畢竟是後退了。
所以愛因斯坦也寫信給希爾伯特，表示希望和解。然後嘛，當然是兩個人和解了。但是要說希爾伯特就真的對愛因斯坦毫無芥蒂了，兩個人真的就成了惺惺相惜的朋友。那可就真的沒人知道了。
不過希爾伯特在說完這句話之後就沒有繼續這個話題了，而是說：「李，你的想法的確是有積極的一面，但是這依舊意味著我們的研究的意義受到了動搖。」
李謙搖搖頭道：「不，希爾伯特先生，我覺得這只是打消了我們狂妄的，以為真理在握的想法而已。定理的範圍是有限制的，那就是在一個足夠複雜的公理系統中。我想，當我們在一個公理系統中，無法證明一個命題的真實的時候，我們還可以通過擴展我們的公理，也就是發現，認識更多的東西來解決它。而且這也意味著我們在不斷認識世界，不斷進取的前方，總還有值得我們期待和研究的地方。這一切是多麼美好，不是嗎？
相反，如果我們狂妄地認定真理在握，就像當年教會宣稱，一切的真理都在《聖經》當中了那樣，那會帶來什麼？又一個長達千年的黑暗的中世紀？可以說，科學最大的敵人，就是那些自以為真理在握的傢伙了。」
「羅素先生一定會贊同你的觀點的——尤其是關於教會的那一段。」希爾伯特笑道，「嗯，李，你的話讓我想起了當初，威廉·湯普森發表的叫做「在熱和光動力理論上空的十九世紀的烏雲」的演講。他說物理大廈已經落成，所剩只是一些修飾工作。比如說光電效應和黑體輻射這兩個小問題。然後嘛，李，你也知道，到現在物理學完全變了樣子了。其實本世紀初的時候，我們數學也有類似的情況，然後就被羅素的理髮師打得目瞪口呆。「
說到這裡，希爾伯特停下來，又細細地將李謙看了一遍，然後又問道：「李，你還在讀一年級？」
李謙點點頭道：「是的，一年級下學期。」
「你在一年級還能學到什麼？」希爾伯特道，「這完全就是在浪費時間。在專業上面，你已經不需要學一年級的那些東西了，你的這篇論文，顯示出你對數學的理解已經相當的好了。這篇論文，在任何一所學校，不要說作為一個本科生的畢業論文，就是作為博士生的論文也已經超出很多了。所以僅僅就數學專業而言，你繼續留在一年級，完全就是在浪費時間。
而你的文學水平，也不是問題。嗯，我看過你的那些小故事，非常好，非常有意思。很多時候，當我們幹活疲勞了的時候，我們就停下來，喝一杯咖啡，同時讓人讀一讀你的那些小故事，然後我們就可以再次精力充沛地投入工作了。
我來這裡的時候，還想你可能在數學方面非常強，文學也不錯，但是你畢竟年輕，在其他方面，比如說對世界的思考等方面不夠成熟，現在看來，這也不是問題。那麼，年輕人，你還呆在一年級幹什麼？大象不能待在羊圈裡。這即讓大象拘束，放不開手腳，對於羊群來說，也太過危險了。比如說，你一不小心，就可能會對人家地自信心造成嚴重的打擊的，而你自己可能都沒有注意到。當然，一個學位很多時候也還是有用的，所以……」希爾伯特先生眨了眨眼鏡道，「你有沒有興趣，來我這裡，暫時作為我的助手，一邊幫我做些研究，一邊以儘可能快的速度，把博士學位讀出來？」
而且這還不是數學一家的事情，因為數學幾乎是一切的自然科學研究的最基礎也最為有力的工具。數學要是都打出GG了，其他學科，有一門算一門，還有誰敢說自己沒問題？甚至不僅僅是自然科學，就是社會學科也都夠嗆，因為這個結論同樣適用於邏輯。而對有很多社會學科來說，邏輯也是非常重要的。當然，新聞除外。
「我知道這個定理後面似乎是有一些可怕的東西。」李謙說，「但是如果我們換個角度想想，事情也許就不一樣了。」
「說說看，」希爾伯特道。
李謙想了想，然後回答道：「希爾伯特先生，我有這樣的一個想法。我想，數學不應該只是一種存粹的語法。就像我不能接受數學陳述如「1+1=2」是無意義的，它們為真僅僅是因為語法而不是語義。您知道，有些人就是這樣看待數學的。但我認為，數學不僅僅是語法，他是有實際的意義的，不完備定律說明，存在著一些卻是為真，但是卻不依賴於我們人為的邏輯架構的東西。這至少說明，數學除了語法之外，並不是一無所有。這些我們用邏輯和語法無法確定的東西，正說明了數學是真實的，不依賴於人類而存在的。」
說到這裡，李謙停了下來，抬起頭，望著希爾伯特。
「啊，李，原來你是個柏拉圖主義者。難怪你們東方人都那樣注重直覺。」希爾伯特笑道，「不過，這似乎也意味著我們無法真正的認識世界，意味著我們永遠在永恆的錯誤之中。」
所謂的「柏拉圖主義」並不是說諸如精神戀愛什麼的。而是指柏拉圖對於世界本質的一種設想。柏拉圖認為，在人們通過感覺和經驗認識的世界之上，還有一個更加真實，更加本質的真實世界——理念世界。
而這種理念表現在數學上，那就是認為數學的對象就是數、量、函數等數學概念，而數學概念作為抽象一般或「共相」是客觀存在著的。柏拉圖認為它們存在於一個特殊的理念世界裡，後世的柏拉圖主義者隨人並不一定接受「理念論」，但也認為數學概念是一種特殊的獨立於現實世界之外的客觀存在，它們是不依賴於時間、空間和人的思維的永恆的存在。數學家得到新的概念不是創造，而是對這種客觀存在的描述；數學新成果不是發明，而是發現。與之相應的，柏拉圖主義認為數學理論的真理性就是客觀的由那種獨立於現實世界之外的存在決定的，而這種真理性是要靠「心智」經驗來理解，靠某種「數學直覺」來認識的，人們只有通過直覺才能達到獨立於現實世界之外的「數學世界」。
「我們的確在永恆的錯誤之中，就好像……：李謙本來想要說」就好像你不能同時知道一個粒子的速度和位置」的，但是在開口的時候，卻猛地想到，「海森堡不確定原理」現在還沒出現呢。
「嗯，能不能幹脆把這個也搶先抄過來？」李謙的思想開了小差，於是語言自然停了下來。不過希爾伯特什麼沒見過？這種說話說到一半，卻突然停下來，眼神呆滯，目光渙散，魂游天外不知道想什麼去了的人，希爾伯特見得多了。在他的門派里，這樣的人而不少。很多能打的傢伙都有這個毛病。
「啊，希爾伯特先生，不好意思，我腦子又突然有點短路了。」李謙還是將自己的思路拉了回來，因為他發現，抄襲物理並不太容易，以他對於物理學的熟悉程度，他需要補的課可不少。
「啊，沒事。這種情況，在我們這一行當中是很常見的。如果我們當中有人從來沒有這樣的時候，都不好意思出去和人家打招呼了。」希爾伯特笑道，「年輕人，能告訴我你剛才在想什麼嗎？」
「我在想，既然數學上存在不完備性，那它在我們熟悉的世界中就一定會有所反應。在物理學上肯定也有表現。我突然想到，在廣義相對論之後，有人提出應該將物理的所有規律統一起來。但我突然想到，依據不完備定律，他們的努力恐怕很難獲得他們期待的結果。」李謙立刻就想出了一個搪塞的理由，他在心裡忍不住為自己的機智點了個贊。
「啊，阿爾伯特·愛因斯坦似乎正在準備做這方面的努力呢。」希爾伯特笑了起來。
在廣義相對論上，希爾伯特和愛因斯坦曾有過一場勢均力敵的競賽，兩個人幾乎是同時做出了廣義相對論。很多吃瓜群眾們都以為，又會出現一場萊布尼茨與牛頓之爭了。而且兩個人也已經開始有一些相互諷刺的語言了。
不過後來，希爾伯特主動退讓了，承認了愛因斯坦的發現權。雖然他的話很傲嬌：「在我們的大街上的孩子，都比愛因斯坦更了解什麼是四維空間，但是廣義相對論卻居然是他發現的。」但是他畢竟是後退了。
所以愛因斯坦也寫信給希爾伯特，表示希望和解。然後嘛，當然是兩個人和解了。但是要說希爾伯特就真的對愛因斯坦毫無芥蒂了，兩個人真的就成了惺惺相惜的朋友。那可就真的沒人知道了。
不過希爾伯特在說完這句話之後就沒有繼續這個話題了，而是說：「李，你的想法的確是有積極的一面，但是這依舊意味著我們的研究的意義受到了動搖。」
李謙搖搖頭道：「不，希爾伯特先生，我覺得這只是打消了我們狂妄的，以為真理在握的想法而已。定理的範圍是有限制的，那就是在一個足夠複雜的公理系統中。我想，當我們在一個公理系統中，無法證明一個命題的真實的時候，我們還可以通過擴展我們的公理，也就是發現，認識更多的東西來解決它。而且這也意味著我們在不斷認識世界，不斷進取的前方，總還有值得我們期待和研究的地方。這一切是多麼美好，不是嗎？
相反，如果我們狂妄地認定真理在握，就像當年教會宣稱，一切的真理都在《聖經》當中了那樣，那會帶來什麼？又一個長達千年的黑暗的中世紀？可以說，科學最大的敵人，就是那些自以為真理在握的傢伙了。」
「羅素先生一定會贊同你的觀點的——尤其是關於教會的那一段。」希爾伯特笑道，「嗯，李，你的話讓我想起了當初，威廉·湯普森發表的叫做「在熱和光動力理論上空的十九世紀的烏雲」的演講。他說物理大廈已經落成，所剩只是一些修飾工作。比如說光電效應和黑體輻射這兩個小問題。然後嘛，李，你也知道，到現在物理學完全變了樣子了。其實本世紀初的時候，我們數學也有類似的情況，然後就被羅素的理髮師打得目瞪口呆。「
說到這裡，希爾伯特停下來，又細細地將李謙看了一遍，然後又問道：「李，你還在讀一年級？」
李謙點點頭道：「是的，一年級下學期。」
「你在一年級還能學到什麼？」希爾伯特道，「這完全就是在浪費時間。在專業上面，你已經不需要學一年級的那些東西了，你的這篇論文，顯示出你對數學的理解已經相當的好了。這篇論文，在任何一所學校，不要說作為一個本科生的畢業論文，就是作為博士生的論文也已經超出很多了。所以僅僅就數學專業而言，你繼續留在一年級，完全就是在浪費時間。
而你的文學水平，也不是問題。嗯，我看過你的那些小故事，非常好，非常有意思。很多時候，當我們幹活疲勞了的時候，我們就停下來，喝一杯咖啡，同時讓人讀一讀你的那些小故事，然後我們就可以再次精力充沛地投入工作了。
我來這裡的時候，還想你可能在數學方面非常強，文學也不錯，但是你畢竟年輕，在其他方面，比如說對世界的思考等方面不夠成熟，現在看來，這也不是問題。那麼，年輕人，你還呆在一年級幹什麼？大象不能待在羊圈裡。這即讓大象拘束，放不開手腳，對於羊群來說，也太過危險了。比如說，你一不小心，就可能會對人家地自信心造成嚴重的打擊的，而你自己可能都沒有注意到。當然，一個學位很多時候也還是有用的，所以……」希爾伯特先生眨了眨眼鏡道，「你有沒有興趣，來我這裡，暫時作為我的助手，一邊幫我做些研究，一邊以儘可能快的速度，把博士學位讀出來？」